Question

4．如图，已知，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④AC=2CD．其中正确的有（　　） 个．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由SAS证明△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA，AD=EC可得①正确，再根据角平分线和全等三角形的性质得出②正确；证出∠ADE=∠BEA，得出AD=AE，因此AD=AE=EC，③正确；根据三角形的三边关系得到④错误，即可得出结论．

解答 解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△EBC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BE}\\{∠ABD=∠CBD}\\{BD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△EBC（SAS），①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，
∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE=∠BDA，AD=EC，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，②正确；
③由②得：∠BDC=∠BEA，
又∵∠ADE=∠BDC，
∴∠ADE=∠BEA，
∴AD=AE，
∴AD=AE=EC，③正确；
④∵AD=AE=EC，AE+CE＞AD+CD，
∴AD＞CD，
∴AC≠2CD，故④错误，
故选：C．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理、三角形的面积关系等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．