Question

17．开学初，小芳和小敏到学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小敏用31元钱买了同样的钢笔2支和笔记本5本．
（1）求每支钢笔和每本笔记本各多少元？
（2）为了奖励班上表现突出的学生，班主任张老师拿出200元钱交给班长，班长到学校商店购买上述价格的钢笔和笔记本两种奖品，计划购买钢笔和笔记本的数量共是45个，要求购买笔记本的数量不小于钢笔数量的2倍．共有哪几种购买方案？请写出费用最少的方案及最少费用是多少元？

Answer 1

分析 （1）用二元一次方程组解决问题的关键是找到两个合适的等量关系，本问中两个等量关系是：1支钢笔的价钱+3本笔记本的价钱=18，2支钢笔的价钱+5本笔记本的价钱=31，根据这两个等量关系可以列出方程组．
（2）本问可以列出一元一次不等式组解决，用笔记本本数=48-钢笔支数代入下列不等关系，购买钢笔钱数+购买笔记本钱数≤200，笔记本数≥钢笔数，可以列出一元一次不等式组，求出其解集，再根据笔记本数，钢笔数必须是整数，确定购买方案．

解答 解：（1）设钢笔的单价为x元，笔记本的单价为y元．
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{x+3y=18}\\{2x+5y=31}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=5}\end{array}\right.$．
答：钢笔的单价为3元，笔记本的单价为5元．

（2）设买a支钢笔，则买笔记本（45-a）本，
由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{45-a≥a}\\{3a+5（45-a）≤200}\end{array}\right.$，
解得：20≤a≤24，
∵a为正整数，
∴a=20，21，22，23，24，
∴购买方案有五种，分别是：
①买钢笔20支，笔记本28本；
②买钢笔21支，笔记本27本；
③买钢笔22支，笔记本26本；
④买钢笔23支，笔记本25本；
⑤买钢笔24支，笔记本24本；
设买奖品所需费用为W，则：W=3a+5（48-a）=-2a+240，
∵k=-2＜0，W随a的增大而减小，
∴当a取最大值24时，W最小，W_最小值=192，
答：购买奖品所需的最少费用为192元．

点评 本题考查了一元一次不等式和二元一次方程组的应用，解题关键是找出题目中的等量关系或者不等关系，另外要求我们熟练一次函数的性质，能用函数的增减性确定最值，有一定难度．