Question

20．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且DC为⊙O的切线．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若⊙O的半径为3，AD=4，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由切线的性质和已知条件易证∠DAC=∠CAB，即AC平分∠DAB；
（2）连接BC，根据圆周角定理的推理得到∠ACB=90°，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性质即可解决问题．

解答 （1）证明：连接OC，
∵DC为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
又∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO；
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB；
（2）解：连接BC，则∠ACB=90°．
∵∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC²=AD•AB，
∵⊙O的半径为3，AD=4，
∴AB=6，
∴AC=2$\sqrt{6}$．

点评 此题主要考查了切线的性质与判定，解题时 首先利用切线的判定证明切线，然后利用切线的想这已知条件证明三角形相似即可解决问题．