Question

如图，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线x＝t，使它与直线y＝x和直线分别交于点D、E（E在D的上方），且△PDE为等腰直角三角形。若存在，求t的值及点P的坐标；若不存在，请说明原因。

Answer 1

解：存在。

方法一：当x＝t时，y＝x＝t、当x＝t时，。

∴E点的坐标为（t，），D点坐标为（t，t）。

∵E在D的上方，∴，且t＜。

∵△PDE为等腰直角三角形，∴PE＝DE或PD=DE或PE=PD。

若t＞0，PE=DE时，。

∴。∴P点坐标为（0，）。

若t＞0，PD=DE时，，

∴。∴P点坐标为（0，）。

若t＞0，PE=PD时，即DE为斜边，∴。

∴，∴DE的中点的坐标为（t，），

∴P点坐标为（0，）。

若t＜0，PE=PD时，由已知得DE=－t，，

t＝4＞0（不符合题意，舍去），此时直线x＝t不存在。

若t＜0，PE=PD时，即DE为斜边时，由已知得DE=－2t，

，

∴。∴P点坐标为（0，0）

综上所述：当t＝时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，）或

（0，）；当时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，）；当t＝－4时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）。

方法二：设直线交y轴于点A，交直线y＝x于点B，过B做BM垂直于y轴，垂足为M，交DE于点N。∵x＝t平行于y轴，∴MN＝。

∵　 解得　 ∴B点坐标为（，），

∴BM＝

当x＝0时，，∴A点坐标为（0，2），∴OA=2。

∵△PDE为等腰直角三角形，∴PE＝DE或PD=DE或PE=PD。

如图，若t＞0，PE=DE和PD=DE时，∴PE＝t，PD＝t，∵DE∥OA，

∴△BDE∽△BOA，∴………5分

∴ ∴t＝。

当t＝时，。

∴P点坐标为（0，）或（0，）。…6分

若t＞0，PD=PE时，即DE为斜边，∴DE=2MN=2t。

∵DE∥OA，∴△BDE∽△BOA∴

∴,∴MN＝t＝，

DE的中点的纵坐标为。

∴P点的坐标为（0，）

如图，若t＜0，PE=DE或PD=DE时，

∵DE∥OA，

∴△BDE∽△BOA∴…………9分

DE＝－4（不符合题意，舍去），此时直线x＝t不存在。

若t＜0，PE=PD时，即DE为斜边，∴DE=2MN=－2t。

∵DE∥OA，∴△BDE∽△BOA∴

∴，∴MN＝4，∴t＝－4，。

∴P点坐标为（0，0）

综上所述：当t＝时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，）或

（0，）；当时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，）；

当t＝－4时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）。