题目内容
求所有不同质数p，q、r和s，使得它们的和仍然是质数，且p2+qs及p2+qr都是完全平方数．
分析：质数中除2是偶数外，其余均为奇数．p，q、r和s的和为质数，则四个数中必有一个为2．然后根据p2+qs或p2+qr是完全平方数并利用反证法推出p=2，而后利用分类讨论，逐步筛掉不合题意者，推出正确答案．
解答：解：因为四个奇素数之和是大于2的偶数，所以所求的素数中必有一个为偶数2．
若p≠2，则p2+qs或p2+qr中有一个形如（2k+1）2+2（2l+1）=4（k2+k+l）+3，这是不可能的，因为奇数的平方除以4的余数是1，所以p=2．
设22+qs=a2，则qs=（a+2）（a-2）．
若a-2=1，则qs=5，因为q、s是奇素数，设22+qs=a2，则qs=（a+2）（a-2）．
若a-2=1，则qs=5，因为q、s是奇素数，所以上式是不可能的．于是只能是q=a-2，s=a+2，
或者q=a+2，s=a-2，
所以s=q-4或q+4．
同理r=q-4或q+4．
三个数q-4、q、q+4被3除，余数各不相同，因此其中必有一个被3整除．
q或q+4为3时，都导致矛盾，所以只能是q-4=3．
于是（p，q，r，s）=（2，7，3，11）或（2，7，11，3）．
若p≠2，则p2+qs或p2+qr中有一个形如（2k+1）2+2（2l+1）=4（k2+k+l）+3，这是不可能的，因为奇数的平方除以4的余数是1，所以p=2．
设22+qs=a2，则qs=（a+2）（a-2）．
若a-2=1，则qs=5，因为q、s是奇素数，设22+qs=a2，则qs=（a+2）（a-2）．
若a-2=1，则qs=5，因为q、s是奇素数，所以上式是不可能的．于是只能是q=a-2，s=a+2，
或者q=a+2，s=a-2，
所以s=q-4或q+4．
同理r=q-4或q+4．
三个数q-4、q、q+4被3除，余数各不相同，因此其中必有一个被3整除．
q或q+4为3时，都导致矛盾，所以只能是q-4=3．
于是（p，q，r，s）=（2，7，3，11）或（2，7，11，3）．
点评：此题考查了质数与合数以及奇数之间的关系，根据题意，利用“筛法”逐步去掉不合题意的结论是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目