Question

5．在直角坐标系中，点A的坐标是（3，0），点P在第一象限内的直线y=-x+4上．设点P的坐标为（x，y）．
（1）求△POA的面积S与自变量x的函数关系式及x的取值范围；
（2）当S=$\frac{1}{2}$时，求点P的位置；
（3）在（2）的条件下，若以P、O、A、Q为顶点构成平行四边形，请直接写出第四个顶点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据点A坐标可得出OA的长度，再由点P在第一象限内的直线y=-x+4上，即可得出y与x之间的关系以及x的取值范围，代入三角形的面积公式即可得出结论；
（2）将S=$\frac{1}{2}$代入（1）得出的关系式中求出x值，再由点P在直线y=-x+4上即可求出y值，从而得出点P的坐标；
（3）分OA、OP、PA为对角线三种情况考虑，根据平行四边形的性质即可得出点Q的坐标．

解答 解：（1）∵点A的坐标是（3，0），
∴OA=3，
∴S=$\frac{1}{2}$OA•y_P=$\frac{3}{2}$y．
∵点P（x，y）在第一象限内的直线y=-x+4上，
∴y=-x+4（0＜x＜4），
∴S=$\frac{3}{2}$（-x+4）=-$\frac{3}{2}$x+6（0＜x＜4）．
（2）令S=-$\frac{3}{2}$x+6中S=$\frac{1}{2}$，则-$\frac{3}{2}$x+6=$\frac{1}{2}$，
解得：x=$\frac{11}{3}$，y=-x+4=$\frac{1}{3}$，
∴当S=$\frac{1}{2}$时，点P的坐标为（$\frac{11}{3}$，$\frac{1}{3}$）．
（3）以P、O、A、Q为顶点的平行四边形分三种情况（如图所示）：
①当OA为对角线时，
∵P（$\frac{11}{3}$，$\frac{1}{3}$），O（0，0），A（3，0），
∴Q（0+3-$\frac{11}{3}$，0+0-$\frac{1}{3}$），即（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$）；
②当OP为对角线时，
∵P（$\frac{11}{3}$，$\frac{1}{3}$），O（0，0），A（3，0），
∴Q（0+$\frac{11}{3}$-3，0+$\frac{1}{3}$-0），即（-$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$）；
③当PA为对角线时，
∵P（$\frac{11}{3}$，$\frac{1}{3}$），O（0，0），A（3，0），
∴Q（3+$\frac{11}{3}$-0，0+$\frac{1}{3}$-0），即（$\frac{20}{3}$，$\frac{1}{3}$）．
综上可知：在（2）的条件下，若以P、O、A、Q为顶点构成平行四边形，第四个顶点Q的坐标为（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$）、（-$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$）、（$\frac{20}{3}$，$\frac{1}{3}$）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据三角形的面积公式找出S关于x的函数关系式；（2）令S=$\frac{1}{2}$求出x值；（3）分三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行四边形的性质以及三个顶点坐标求出第四个顶点的坐标是关键．