Question

12．（1）如图（1），在△ABC中，AB＞AC＞BC，∠ACB=80°，点D、E分别在线段BA、AB的延长线上，且AD=AC，BE=BC，则∠DCE=130°；
（2）如图（2），在△ABC中，AB＞AC＞BC，∠ACB=80°，点D、E分别在边AB上，且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数；
（3）在△ABC中，AB＞AC＞BC，∠ACB=80°，点D、E分别在直线AB上，且AD=AC，BE=BC，则∠求DCE的度数（直接写出答案）；
（4）如图（3），在△ABC中，AB=14，AC=15，BC=13，点D、E在直线AB上，且AD=AC，BE=BC．请根据题意把图形补画完整，并在图形的下方直接写出△DCE的面积．（如果有多种情况，图形不够用请自己画出，各种情况用一个图形单独表示）．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠D，∠BCE=∠E，由三角形的内角和得到∠CAB+∠CBA=100°，根据三角形的外角的性质得到∠CDA+∠BCE=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠CBA）=50°，即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和和外角的性质即可得到结论；
（3）点D、E分别在直线AB上，除去（1）（2）两种情况，还有两种情况，如图3，由（1）知，∠D=$\frac{1}{2}∠$CAB，由（2）知∠CEB=$\frac{180°-∠B}{2}$，列方程即可求得结果．
（4）在△ABC中，AB=14，AC=15，BC=13，过C作CF⊥AB与F，根据勾股定理求得AB边上的高CF=12，然后根据三角形的面积公式即可强大的结论．

解答 解：（1）∵AD=AC，BE=BC，
∴∠ACD=∠D，∠BCE=∠E，
∵∠ACB=80°，
∴∠CAB+∠CBA=100°，
∴∠CDA+∠BCE=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠CBA）=50°，
∴∠DCE=130°，
故答案为：130°．

（2）∵∠ACB=80°，
∴∠A+∠B=100°，
∵AD=AC，BE=BC，
∴∠ACD=∠ADC，∠BEC=∠BCE，
∴∠ADC=$\frac{180-∠A}{2}$，∠BEC=$\frac{180-∠B}{2}$，
∴∠ADC+∠BEC=180°-$\frac{1}{2}$（∠A+∠B）=130°，
∴∠DCE=50°；

（3）点D、E分别在直线AB上，除去（1）（2）两种情况，还有两种情况，如图3，
由（1）知，∠D=$\frac{1}{2}∠$CAB，由（2）知∠CEB=$\frac{180°-∠B}{2}$，
∴∠CEB=∠D+∠DCE，
∴$\frac{180°-∠B}{2}$=$\frac{1}{2}∠$CAB+∠DCE，
∴∠DCE=40°，
如图4，同理∠DCE=40°；

（4）在△ABC中，AB=14，AC=15，BC=13，
过C作CF⊥AB与F，
则AC²-AF²=BC²-BF²，即15²-AF²=13²-（14-AF）²，
解得：AF=9，
∴CF=12，
①如图1，DE=AB+AC+BC=42，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$×42×12=252；
②如图2，DE=AC+BC-AB=14，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$×14×12=84；
③如图3，DE=AC+AB-BC=16，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$×16×12=96；
④如图4，DE=AB+BC-AC=12，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$×12×12=72．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．