如图.将平面直角坐标系的纵轴绕原点顺时针旋转30°.得到夹角为60°的平面坐标系xOy.称之为平面60°角坐标系．类比平面直角坐标系中确定点的坐标的方法.设平面60°角坐标系中有任意一点P.过点P作PA∥y轴.交x轴于点A.A点的坐标为(x.0).过点P作PB∥x轴.交y轴于点B.B点的坐标为．利用以上规定.在平面60°角坐标系中解决下列问题:.B(0.1)分别作y轴.x轴的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．

如图，将平面直角坐标系的纵轴绕原点顺时针旋转30°，得到夹角为60°的平面坐标系xOy，称之为平面60°角坐标系．类比平面直角坐标系中确定点的坐标的方法，设平面60°角坐标系中有任意一点P，过点P作PA∥y轴，交x轴于点A，A点的坐标为（x，0），过点P作PB∥x轴，交y轴于点B，B点的坐标为（0，y），则点P坐标为（x，y）．
利用以上规定，在平面60°角坐标系中解决下列问题：
（1）在图12中，过点A（1，0）、B（0，1）分别作y轴、x轴的平行线，两条直线交于点C，则点C的坐标为（1、1）；
（2）若点M在第二象限，且M到x轴、y轴的距离均为$\sqrt{3}$，则M点坐标为（-2、2）；
（3）一次函数的图象在平面60°角坐标系中仍然是一条直线，求直线y=x、直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$及x轴围成的三角形的面积．

分析（1）根据平面60°角坐标系坐标确定方法易得C点坐标；
（2）如图1，证明△OAM是等边三角形，四边形OAMB是菱形，由ME=MF=$\sqrt{3}$，∠MOE=60°，得到OA=OB=2，进而求出M的坐标；
（3）如图2，求出点E、F的坐标，过点E作EG∥y轴交x轴于点G，过点E作EH⊥x轴，垂足为H，求出EH，即可计算直线y=x、直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$及x轴围成的三角形为△OEF的面积．

解答解：（1）∵过点A（1，0）、B（0，1）分别作y轴、x轴的平行线，两条直线交于点C，
∴C（1，1）；
故答案为：1，1；
（2）如图1，∵点M在第二象限，且M到x轴、y轴的距离均为$\sqrt{3}$，
∴OM平分第二象限夹角，
∵ME=MF=$\sqrt{3}$，∠MOE=60°，
∴OM=2，
∵∠AOB=120°，四边形OAMB是平行四边形，
∴∠A=60°，
∴△OAM是等边三角形，四边形OAMB是菱形，
∴OA=OB=2，
∴M（-2，2）；
故答案为：-2，2；　
（3）设直线y=x、直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$交于点E，如图2，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
则点E的坐标为（1，1），
直线 y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，令y=0，得x=3
直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$与x轴的交点为F（3，0），
∴OF=3．
∴直线y=x、直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$及x轴围成的三角形为△OEF，
过点E作EG∥y轴交x轴于点G，则OG=1，∠EGF=60°，易得EG=1．
过点E作EH⊥x轴，垂足为H，在Rt△EGH中，
EH=EG•sin∠EGH=EG•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴S_△OEF=$\frac{1}{2}$OF•EH=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．