Question

3．如图，已知△ABC射线AM平分∠BAC，过BC的中点作垂线，与AM相交于点G，连接BG，CG，∠BAC和∠BGC的数量关系为互补，证明你的结论．

Answer 1

分析 作MD⊥AB，MK⊥AC，利用角平分线的性质和垂直平分线的性质证得△R_tMBD≌R_t△MCK（HL），然后根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 互补．
证明：作MD⊥AB，MK⊥AC，
∵AM为∠BAC的平分线，
∴MD=MK，
∵EF为BC的垂直平分线，
∴MB=MC，
在R_t△MBD与R_t△MCK中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=CM}\\{MD=MK}\end{array}\right.$，
∴△R_tMBD≌R_t△MCK（HL），
∴∠BMC=∠DMK，
∵∠DMK+∠BAC=180°，
∴∠BMC+∠BAC=180°，
∴∠BAC和∠BGC互补．
故答案为：互补．

点评 本题考查了垂直平分线的性质和角平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．