Question

4．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，∠A=105°，BD=CD．
（1）求∠DBC的度数；
（2）若⊙O的半径为3，求$\widehat{BC}$的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆内接四边形的性质可得∠C的度数，然后根据等边对等角可得答案；
（2）首先计算出∠BDC的度数，再根据圆周角定理可得∠BOC的度数，进而可得$\widehat{BC}$的长．

解答 解：（1）∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠DCB+∠BAD=180°，
∵∠A=105°，
∴∠C=180°-105°=75°，
∵BD=CD，
∴∠DBC=∠C=75°；

（2）连接BO、CO，
∵∠C=∠DBC=75°，
∴∠BDC=30°，
∴∠BOC=60°，
故$\widehat{BC}$的长l=$\frac{60π×3}{180}$=π．

点评 此题主要考查了圆周角定理，以及圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形对角互补．