题目内容
如图，BD、CE是△ABC的两条高，连接DE．（1）求证：①
| AE |
| AC |
| AD |
| AB |
（2）猜想△DOE与△COB能相似吗？请说明理由．
考点：相似三角形的判定与性质
专题：
分析：（1）由条件可证明△ADB∽△AEC，则可得到
=
，且∠EAD=∠CAB，证得结论；
（2）由（1）可得∠ACE=∠ABD，可证明△BOE∽△COD，则有
=
，结合对顶角可证明△DOE∽△COB．
| AE |
| AD |
| AC |
| AB |
（2）由（1）可得∠ACE=∠ABD，可证明△BOE∽△COD，则有
| OE |
| OD |
| OB |
| OC |
解答：（1）证明：①∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AEC=∠ADB=90°，且∠EAC=∠BAD，
∴△ADB∽△AEC，
∴
=
，即
=
，
②∵
=
，且∠EAD=∠CAB，
∴△AED∽△ACB；
（2）解：相似，理由如下：
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠CDO=∠BEO=90°，且∠DOC=∠EOB，
∴△BOE∽△COD，
∴
=
，即
=
，且∠DOE=∠COB，
∴△DOE∽△COB．
∴∠AEC=∠ADB=90°，且∠EAC=∠BAD，
∴△ADB∽△AEC，
∴
| AE |
| AD |
| AC |
| AB |
| AE |
| AC |
| AD |
| AB |
②∵
| AE |
| AC |
| AD |
| AB |
∴△AED∽△ACB；
（2）解：相似，理由如下：
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠CDO=∠BEO=90°，且∠DOC=∠EOB，
∴△BOE∽△COD，
∴
| OE |
| OD |
| OB |
| OC |
| OE |
| OB |
| OD |
| OC |
∴△DOE∽△COB．
点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
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