Question

4．定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横纵坐标的绝对值的和叫做点P（x，y）的勾股值．记为[P]=|x|+|y|．
（1）已知第一象限的点A（m，n）是直线y=x+2上一点．且[A]=4，求点A的坐标；
（2）已知点M（p，2p）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，且[M]=3，求反比例函数解析式；
（3）若抛物线y=ax²+bx+1与直线y=x只有一个交点C，已知点C在第一象限，且2≤[C]≤4，令t=2b²-4a+2016，试求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{m+n=4}\\{n=m+2}\end{array}\right.$解方程组即可．
（2）由题意|p|+|p|=3，推出p=$±\frac{3}{2}$，可得M（$\frac{3}{2}$，3）或（-$\frac{3}{2}$，-3），根据待定系数法可以确定反比例函数的解析式．
（3）由题意方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=a{x}^{2}+bx+1}\end{array}\right.$只有一组实数解，可得x₁=x₂=$\frac{2}{1-b}$，推出C（$\frac{2}{1-b}$，$\frac{2}{1-b}$），由且2≤[C]≤4，可得1≤$\frac{2}{1-b}$≤2或-2≤$\frac{2}{1-b}$≤-1，求出b的取值范围，再利用二次函数的性质即可解决问题．

解答 解：（1）∵第一象限的点A（m，n）是直线y=x+2上一点．且[A]=4，
∴m＞0，n＞0，|m|=m，|n|=n，
则有$\left\{\begin{array}{l}{m+n=4}\\{n=m+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴点A坐标（1，3）．

（2）由题意|p|+|p|=3，
∴p=$±\frac{3}{2}$，
∴M（$\frac{3}{2}$，3）或（-$\frac{3}{2}$，-3），
∴k=$\frac{3}{2}$×3=$\frac{9}{2}$，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{9}{2x}$．

（3）由题意方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=a{x}^{2}+bx+1}\end{array}\right.$只有一组实数解，
消去y得ax²+（b-1）x+1=0，
由题意△=0，
∴（b-1）²-4a=0，
∴4a=（b-1）²，
∴用方程可以化为（b-1）²+4（b-1）x+4=0，
∴x₁=x₂=$\frac{2}{1-b}$，
∴C（$\frac{2}{1-b}$，$\frac{2}{1-b}$），
∵且2≤[C]≤4，
∴1≤$\frac{2}{1-b}$≤2或-2≤$\frac{2}{1-b}$≤-1，
解得∴-1≤b≤0或2≤b≤3，
∵点C在第一象限，
∴-1≤b≤0
∵t=2b²-4a+2016=2b²-（b-1）²+2016=b²+2b+2015=（b+1）²+2014，
∵-1≤b≤0
∴2014≤t≤2015

点评 本题考查二次函数综合题、反比例函数、二元二次方程组、一元一次不等式组等知识，解题的关键是理解题意，学会把问题转化为方程或方程组解决，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考压轴题．