Question

11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10．点Q与点B在AC的同侧，且AQ⊥AC．

（1）如图1，点Q不与点A重合，连结CQ交AB于点P．设AQ=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）是否存在点Q，使△PAQ与△ABC相似，若存在，求AQ的长；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，过点B作BD⊥AQ，垂足为D．将以点Q为圆心，QD为半径的圆记为⊙Q．若点C到⊙Q上点的距离的最小值为8，求⊙Q的半径．

Answer 1

分析 （1）先由平行线分线段成比例得出，$\frac{AQ}{BC}=\frac{AP}{BP}$代值即可得出结论；
（2）先判断出要使△PAQ与△ABC相似，只有∠QPA=90°，进而由相似得出比例式即可得出结论；
（3）分点C在⊙O内部和外部两种情况，用勾股定理建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵AQ⊥AC，∠ACB=90°，
∴AQ∥BC，
∴$\frac{AQ}{BC}=\frac{AP}{BP}$，
∵BC=6，AC=8，
∴AB=10，
∵AQ=x，AP=y，
∴$\frac{x}{6}=\frac{y}{10-y}$，
∴$y=\frac{10x}{x+6}（{x＞0}）$；
（2）∵∠ACB=90°，而∠PAQ与∠PQA都是锐角，
∴要使△PAQ与△ABC相似，只有∠QPA=90°，
即CQ⊥AB，
此时△ABC∽△QAC，
则$\frac{AQ}{8}=\frac{8}{6}$，
∴AQ=$\frac{32}{3}$．
故存在点Q，使△ABC∽△QAP，此时AQ=$\frac{32}{3}$；
（3）∵点C必在⊙Q外部，
∴此时点C到⊙Q上点的距离的最小值为CQ-DQ．
设AQ=x．
①当点Q在线段AD上时，QD=6-x，QC=6-x+8=14-x，
∴x²+8²=（14-x）²，
解得：x=$\frac{33}{7}$，
即⊙Q的半径为$\frac{9}{7}$．
②当点Q在线段AD延长线上时，QD=x-6，QC=x-6+8=x+2，
∴x²+8²=（x+2）²，
解得：x=15，
即⊙Q的半径为9．
∴⊙Q的半径为9或$\frac{9}{7}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，相似三角形的判定和性质，极值问题，勾股定理，解本题的关键是判断出CQ⊥AB，分点C在圆内和圆外两种情况．