如图.已知在直角梯形ABCD中.AD∥BC.AB⊥BC.AD=11.BC=13.AB=12．动点P.Q分别在边AD和BC上.且BQ=3DP．线段PQ与BD相交于点E.过点E作EF∥BC.交CD于点F.射线PF交BC的延长线于点G.设DP=x．(1)求$\frac{EF}{QG}$的值．(2)当点P运动时.试探究四边形EFGQ的面积是否会发生变化?如果发生变化.请用x的代数式� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．

如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=11，BC=13，AB=12．动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ=3DP．线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF∥BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP=x．
（1）求$\frac{EF}{QG}$的值．
（2）当点P运动时，试探究四边形EFGQ的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示四边形EFGQ的面积S；如果不发生变化，请求出这个四边形的面积S．
（3）当△PQG是以线段PQ为腰的等腰三角形时，求x的值．

分析（1）先由平行线的性质得∠PDE=∠EBQ，∠EPD=∠EQB．△EPD∽△EQB，再由相似三角形的性质得 $\frac{DP}{BQ}$=$\frac{PE}{QE}$，可得$\frac{PE}{PQ}$=$\frac{1}{4}$．因为EF∥BC，所以△PEF∽△PQG，即得 $\frac{EF}{QG}$=$\frac{PE}{PQ}$=$\frac{1}{4}$；
（2）不会发生变化．由AD∥BC，得 $\frac{BQ}{PD}$=$\frac{CG}{PD}$，可得BC=QG，由△PEF∽△PQG，得S_{四边形EFGQ}=$\frac{15}{16}$S_△PQG，求得△PQG的面积即可得四边形EFGQ的面积S；
（3）以线段PQ为腰，则可能是PQ=PG，也可能是PQ=QG，所以分开求解即可．

解答解：（1）∵AD∥BC，
∴∠PDE=∠EBQ，∠EPD=∠EQB．
∴△EPD∽△EQB．
∴$\frac{DP}{BQ}$=$\frac{PE}{QE}$．
∵BQ=3DP，
∴$\frac{PE}{QE}$=$\frac{1}{3}$．
∴$\frac{PE}{PQ}$=$\frac{1}{4}$．
∵EF∥BC，
∴∠PEF=∠PQG，∠PFE=∠G．
∴△PEF∽△PQG，
∴$\frac{EF}{QG}$=$\frac{PE}{PQ}$=$\frac{1}{4}$；

（2）不会发生变化．
∵AD∥BC，
∴$\frac{BQ}{PD}$=$\frac{CG}{PD}$．
∴BQ=CG．
∴BC=QG．
∵△PEF∽△PQG，
∴S_{四边形EFGQ}=$\frac{15}{16}$S_△PQG．
∴S_△PQG=$\frac{1}{2}$QG×AB=$\frac{1}{2}$BC×AB=$\frac{1}{2}$×13×12=78．
∴S_{四边形EFGQ}=$\frac{15}{16}$×78=73.125；

（3）作PH⊥BC，垂足为点H．
（i）当PQ=PG时，QH=GH=$\frac{13}{2}$．
∴2x+$\frac{13}{2}$=11-x．
解得x=$\frac{3}{2}$．
（ii）当PQ=GQ时，PQ=$\sqrt{（11-3x）^{2}+1{2}^{2}}$=13．
解得x=2或x=$\frac{16}{3}$．
综上所述，当△PQG是以PQ为腰的等腰三角形时，x的值为$\frac{3}{2}$或2或$\frac{16}{3}$．