Question

16．问题引入：
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．必然|-2|就表示-2这个点到原点的距离，所以|-2|=2；
问题探究：
点A、B、C、D所表示的数如图1所示，则A、C两点间的距离为2；B、D两点间的距离为3；
A、B两点间的距离为10；由此，数轴上任意两点E、F分别表示的数是m、n，则E、F两点间的距离可表示为|m-n|．

问题应用：
在一工厂流水线上有依次排列的n个工作台，现要在流水线上设置一个工具台，以方便这n名工人从工作台到工具台拿取工具．为了让工人从工作台到工具台拿工具所走的路程之和最小，我们应该把工具台放在什么位置呢？
为了解决这一问题，我们不妨先从最简单的情形入手：
（1）如图2，若流水线上顺次摆放着2个工作台A₁和A₂，为让2名工人拿工具所走的路程和最小，很明显，工具台P设在A₁和A₂之间的任何地方都行（包括A₁和A₂），因为这时2个工作台上的工人过来取共计所走的距离和等于A₁和A₂之间的距离，要放在其它位置的话，两人所走的距离和都要大于这个距离．
（2）如图3，若流水线上一次摆着3个工作台A₁、A₂和A₃，为让3名工人拿工具所走的路程和最小，应将工具台设在中间工作台A₂处．因为这时3个工作台上工人过来取工具所走的距离和等于A₁和A₃之间的距离，要放在其它位置的话，两人所走的距离和都要大于这个距离．
（3）若流水线上一次摆着4个工作台A₁、A₂、A₃和A₄，为让4名工人拿工具所有的路程和最小，应将工具台设在A₂、A₃之间的任何地方都行（包括A₃和A₂）．
（4）若流水线上一次摆放着5个工作台A₁、A₂、A₃、A₄和A₅，为让5名工人拿工具所走的路程和最小，应将工具台设在A₃．
问题拓展：
数轴上三个点1、2、x，那么x在数轴上表示数1，2的点之间（包括1和2）位置时才能到1和2两点的距离和最小，由此，
|x-1|+|x-2|的最小值为1．
根据以上推理方法可求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值是6，此时x=3．

Answer 1

分析 问题探究：根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可得出两点间的距离；
问题应用：根据（1）（2）中的结论，得出当工作台有奇数个时，工具台应设在最中间一个工作台处，当工作台有偶数个时，工具台应设在最中间两个工作台之间；
问题拓展：根据数轴上两点间的距离公式以及（1）（2）中的结论，求得x在数轴上的位置以及|x-1|+|x-2|的最小值，最后根据以上推理方法可求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值及x的值．

解答 解：问题探究：
由图1可得，A、C两点间的距离为6-4=2；
B、D两点间的距离为=-1-（-4）=3；
A、B两点间的距离为6-（-4）=10；
E、F两点间的距离可表示为|m-n|；
故答案为：2，3，10，|m-n|；

问题应用：
（3）∵流水线上一次摆着4个工作台A₁、A₂、A₃和A₄，为让4名工人拿工具所有的路程和最小，
∴应将工具台设在A₂、A₃之间的任何地方都行（包括A₃和A₂）；
故答案为：A₂、A₃之间的任何地方都行（包括A₃和A₂）；
（4）∵流水线上一次摆放着5个工作台A₁、A₂、A₃、A₄和A₅，为让5名工人拿工具所走的路程和最小，
∴应将工具台设在A₃处；
故答案为：A₃；

问题拓展：
∵三个点分别为1、2、x，
∴当x在数轴上1，2之间或在1点，2点上时，x到1和2两点的距离和最小，|x-1|+|x-2|的最小值=2-1=1；
根据|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的几何意义，可得|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|表示x到数轴上1，2，3，4，5五个数的距离之和，
∴当x与3重合时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|有最小值，最小值为6，此时x=3．
故答案为：表示数1，2的点之间（包括1和2）；1；6，3．

点评 本题主要考查了数轴以及数轴上两点间的距离公式的综合应用，解决问题的关键是掌握：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．解题时注意：数轴上任意两点分别表示的数是a、b，则这两点间的距离可表示为|a-b|．