Question

10．已知二次函数C₁：y=-ax²+bx+3a的图象经过点M（1，0）、N（0，-3），其关于原点对称后的二次函数C₂与x轴交于A、B两点（点B在点A右侧）与y轴交与点C，其抛物线的顶点为D．
（1）求对称后的二次函数C₂的解析式；
（2）作出抛物线C₂的图象，连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在抛物线C₂图象的对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点N（0，-3）代入y=-ax²+bx+3a求得a的值，然后再将点M的坐标代入可求得b的值与可得到二次函数C₁的解析式，然后通过配方可得到C₁的顶点坐标，然后由C₁与C₂关于原点对称可得到二次函数C₂的解析式；
（2）先根据题意画出图形，然后再求得点B、C、D的坐标，接下来，依据两点间的距离公式求得CD²、BC²、DB²的值，最后依据勾股定理的逆定理进行证明即可；
（3）当CD=DP时，依据二次函数和等腰三角形的对称性可求得点P的坐标，当点P在CD的垂直平分线上时，可先求得CD的解析式，然后再求得CD的垂直平分线EP的解析式，然后求得PE与抛物线的交点坐标即可；根据图形可知CP＞CD，故此不存在CD=PC的情况．

解答 解：（1）将点N（0，-3）代入y=-ax²+bx+3a得：3a=-3，解得a=-1，
∴二次函数C₁：y=x²+bx-3．
将M（1，0）代入抛物线的解析式得：1+b-3=0，解得b=2．
∴二次函数C₁：y=x²+2x-3=（x+1）²-4．
∵二次函数C₁与二次函数C₂关于原点对称，
∴二次函数C₂：y=-（x-1）²+4．
（2）如图1所示：

∵二次函数C₂：y=-（x-1）²+4．
∴D（1，4）．
∵当x=0时，y=3，
∴C（0，3）．
∵令y=0得-（x-1）²+4=0，解得x=3或x=-1，
∴B（3，0），A（-1，0）．
∵依据两点间的距离公式可知CD²=（1-0）²+（4-3）²=2，BC²=（3-0）²+（3-0）²=18；BD²=（3-1）²+（4-0）²=20，
∴CD²+BC²=BD²．
∴△BCD是直角三角形．
（3）存在．
理由：①如图2所示：

由抛物线的对称性质可知：当点P与点C关于x=1对称时，△CDP为等腰三角形，
∴P（2，3）．
②如图3所示：当点P在CD的垂直平分线上时，△CDP为等腰三角形．

设CD的解析式为y=kx+3，将点D的坐标代入得：k+3=4，解得：k=1．
由中点坐标公式可知E（0.5，3.5）
∴直线PE的解析式y=-x+b，将E（0.5，3.5）代入得：-0.5+b=3.5，解得：b=4，
∴直线PE的解析式为y=-x+4．
将y=-x+4与y=-（x-1）²+4联立，解得：x=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$或x=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$（舍去）
∴y=-x+4=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$．
∴点P的坐标为（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）．
③∵当点P作点D右侧的抛物线上运动时，PC＞PD，
∴不存在PC=PD的情况．
综上所述，点P的坐标为P（2，3）或（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）时，△PCD为等腰三角形．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，分类讨论是解答本题的关键．