Question

（1）如图，已知△ABC中，AD⊥BC于D，AE为∠BAC的平分线，∠B=50°，∠C=70°，求∠DAE的度数．
（2）已知在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC（∠C＞∠B）．求证：∠DAE=

1

2

（∠C-∠B）．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）首先根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠EAC的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠DAC的度数，进而求∠DAE的度数；
（2）首先根据三角形的内角和定理和角平分线的定义表示∠EAC=

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2

（180°-∠B-∠C），然后根据三角形的内角和定理及等式的性质表示出∠EAD，最后根据等量代换即可得证．

解答：（1）解：∵∠B=50°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-70°=60°．
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠EAC=

1

2

∠BAC=

1

2

×60°=30°．
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
在△ADC中，∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-70°=20°，
∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=30°-20°=10°；
（2）证明：∵AE平分∠BAC（已知），∴∠EAC=

1

2

∠BAC（角平分线定义）．
∵∠BAC+∠B+∠C=180°（三角形三个内角的和等于180°），
∴∠BAC=180°-∠B-∠C（等式性质）．
∴∠EAC=

1

2

（180°-∠B-∠C）（等量代换）．
∵AD⊥BC（已知），∴∠ADC=90°（垂直定义）．
在△ADC中，∠ADC+∠C+∠DAC=180°（三角形三个内角的和等于180°），
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C（等式性质）=90°-∠C．
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=

1

2

（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）（等量代换）
=

1

2

（180°-∠B-∠C）-

1

2

（180°-2∠C）=

1

2

（180°-∠B-∠C-180°+2∠C）
=

1

2

（∠C-∠B）．

点评：本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、垂直的定义等知识．