Question

观察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；以此类推！
将以上面前三个等式两边分别相加，得

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

（1）猜想并写出：

1

n(n+1)

=

 

．
（2）根据以上规律计算：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…

1

2013×2014

+

1

2014×2015

；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…

1

n×(n+1)

；
③

1

(x-1)×(x-2)

+

1

(x-2)×(x-3)

+…

1

(x-2013)×(x-2014)

+

1

(x-2014)×(x-2015)

．

Answer 1

考点：分式的混合运算

专题：规律型

分析：（1）根据题目中的算式得出规律，即可得出答案；
（2）①根据规律展开，最后合并，即可求出答案；
②根据规律展开，最后合并，即可求出答案；
③根据规律展开，最后合并，即可求出答案．

解答：解：（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
故答案为：

1

n

-

1

n+1

；

（2）①原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2014

-

1

2015

=1-

1

2015

=

2014

2015

；

②原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；

③原式=-（

1

x-1

-

1

x-2

+

1

x-2

-

1

x-3

+…+

1

x-2014

-

1

x-2015

）
=-（

1

x-1

-

1

x-2015

）
=

2014

(x-1)(x-2015)

．

点评：本题考查了分式的混合运算的应用，解此题的关键是能根据已知条件得出规律．