Question

6．已知关于x的一元二次方程（k²-8k+15）x²-2（13-3k）x+8=0的两个根都是整数，求实数k的值．

Answer 1

分析 首先分利用分解因式法求得方程的两个根，进一步利用两个根都是整数探讨得出k的数值即可．

解答 解：∵（k²-8k+15）x²-2（13-3k）x+8=0，
∴（k-3）（k-5）x²-（26-6k）x+8=0，（k≠3，k≠5）
∴[（k-3）x+4][（k-5）x+2]=0，
解得：x₁=-$\frac{4}{k-3}$，x₂=-$\frac{2}{k-5}$，
∵两个根都是整数，
∴设x₁=-$\frac{4}{k-3}$=m，x₂=-$\frac{2}{k-5}$=n，（m，n为不为0的整数），
∴k=-（$\frac{4}{m}$+3），k=-（$\frac{2}{n}$+5），
∴$\frac{4}{m}$+3=$\frac{2}{n}$+5，
则m=$\frac{2n}{n+1}$=2-$\frac{2}{n+1}$，
∵m是整数，则$\frac{2}{n+1}$是整数，n能取-3，-2，1，
当n=-3，m=3，k=$\frac{13}{3}$，
当n=-2，m=4，k=4，
当n=1，m=1，k=7．

点评 此题考查解一元一次方程，利用因式分解求得方程的根，利用整数根的特点，分析探讨解决问题．