题目内容
附加题：
在黑板上写着2000个数：1，2，3，…，2000，每次允许擦去两个数a、b （a≥b）并写上a-b、
、
这三个数（即
写两遍），如此进行8000次后得到了10000个数，问：这10000个数能否都小于500？
在黑板上写着2000个数：1，2，3，…，2000，每次允许擦去两个数a、b （a≥b）并写上a-b、
| ab |
| ab |
| ab |
分析：由于a2+b2=(a-b)2+(
)2+(
)2，所以黑板上所有数的平方和是始终不变的．再推出12+22+32+…+20002的取值范围，即可推出该市的取值范围．
| ab |
| ab |
解答：解：由于a2+b2=(a-b)2+(
)2+(
)2，
所以黑板上所有数的平方和是始终不变的．
而一开始时，所有数的平方和为
12+22+32+…+20002
=
×2000×2001×4001 ＞
×2000×2000×4000=2.666…× 109
＞2.5×109
=5002×10000．
因此，黑板上不能是10000个小于500的数．
| ab |
| ab |
所以黑板上所有数的平方和是始终不变的．
而一开始时，所有数的平方和为
12+22+32+…+20002
=
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 6 |
＞2.5×109
=5002×10000．
因此，黑板上不能是10000个小于500的数．
点评：本题考查了有理数、无理数的概念与运算，操作中变化的量很多，若不能抓住其万变之“宗”，便很难下手．经过观察与试验，我们发现它的不变量是平方和．
练习册系列答案
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、
这三个数（即
写两遍），如此进行8000次后得到了10000个数，问：这10000个数能否都小于500？