题目内容

已知：如图，直角坐标系内的梯形AOBC，AC∥OB，AC、OB的长分别是关于x的方程x²-6mx+m²+4=0的两根，并且S_△AOC：S_△BOC=1：5．
（1）求AC、OB的长；
（2）当BC⊥OC时，求OC的长及OC所在直线的解析式；
（3）在第（2）问的条件下，线段OC上是否存在一点M，过M点作x轴的平行线，交y轴于F，交BC于D，过D点作y轴的平行线，交x轴于点E，使S_矩形FOED= $数学公式$ S_梯形AOBC？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）∵S_△AOC：S_△BOC=1：5
∴AC：OB=1：5
不妨设AC=k，OB=5k
由题意得 $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ （不合题意，舍去）
∴AC=1，OB=5；

（2）∵∠OAC=∠BCO=90°，∠ACO=∠BOC
∴△OBC∽△COA
∴ $\text{[math]}$ ，OC²=OB•AC
∴OC= $\text{[math]}$ 或OC=- $\text{[math]}$ （舍去）
∵AC=1，∴AO=2
∴C（1，2）
∴直线OC的解析式为y=2x；

（3）存在，M（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或（ $\text{[math]}$ ，1）．
分析：（1）根据等高三角形的面积等于底边比，可得出AC：OB=1：5．而AC、OB又是方程x²-6mx+m²+4=0的两根，可根据韦达定理得出AC、OB的和与积的值，然后联立AC、OB的比例关系式可求出AC、OB的长；
（2）本题要通过相似三角形求解．如果BC⊥OC，那么∠AOC和∠OBC就同为∠COB的余角，因此两角相等，可得出△OBC∽△COA，根据相似三角形得出的OC²=AC•OB，可求出OC的长．进而可在直角三角形OAC中，求出OA的长，已知了AC的长，也就得出了C点的坐标．可用待定系数法求出OC所在直线的解析式；
（3）先求出矩形FDEO的面积S与OE的长a的函数关系式，易知直线BC的解析式为y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，那么DE=- $\text{[math]}$ a+ $\text{[math]}$ ，因此S=OE•DE=- $\text{[math]}$ a²+ $\text{[math]}$ a，易求得梯形AOBC的面积为6，因此S=- $\text{[math]}$ a²+ $\text{[math]}$ a=3，解得a=2或3，当a=2时，DE=- $\text{[math]}$ ×2+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即M点纵坐标为 $\text{[math]}$ ，代入直线OC的解析式中可得M（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），同理可求得当a=3时，M（ $\text{[math]}$ ，1）．
点评：本题考查的是一次函数的综合运用以及三角形，梯形的性质，难度中等．