题目内容

“灾难无情人有情”，四川汶川发生大地震后，一批武警官兵奉命营救小山两侧A、B两地的被困人员，为了圆满完成空降任务，需知道小山高度及A、B两地的距离．已知当飞机飞至高空C处时，发现飞机与山顶P及村庄B在同一条直线上，且点A、B、C、P在同一平面内，并测得A、B两地的俯角分别为75°和30°，飞机离A地的距离AC=1400米，又知在A处观测山顶P的仰角为45°，求AB两地的距离及小山的高（结果保留根号）．

解：过点A作AE⊥BC于E，过点P作PH⊥AB于H，
∵根据题意得：∠DCA=75°，∠DCB=30°，DC∥AB，
∴∠CAF=∠DCA=75°，∠BCA=∠DCA-∠BCA=45°，
∴∠B=∠CAF-∠BCA=75°-45°=30°，
∴AE=EC=AC•sin∠ECA=1400× $\text{[math]}$ =700 $\text{[math]}$ （米）
∴AB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1400 $\text{[math]}$ （米），
∴BE=AB•cos∠B=1400 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =700 $\text{[math]}$ （米），
∴BC=BE+EC=700 $\text{[math]}$ +700 $\text{[math]}$ （米），
∵∠B=∠B，∠BAP=∠BCA=45°，
∴△ABP∽△CBA，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得：PH=700 $\text{[math]}$ -700 $\text{[math]}$ （米）．
∴AB=1400 $\text{[math]}$ 米，山高为（700 $\text{[math]}$ -700 $\text{[math]}$ ）米．
分析：首先过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥AB于F，根据题意得：∠DCA=75°，∠DCB=30°，DC∥AB，然后由三角函数的知识，即可求得AE与EC的值，继而求得AB的值与小山的高．
点评：此题考查仰角与俯角的定义，直角三角形的求解方法等知识．解此题的关键是借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形．