Question

抛物线y=

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x2+bx+c与y轴交于点C（O，一4），与x轴交于点A、B，且B点的坐标为（2，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点D为0A中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象上点的坐标特征

专题：计算题

分析：（1）把B点和C点坐标分别代入y=

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x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）利用抛物线与x轴的交点问题求出A点坐标为（-4，0），则D（-2，0），接着利用待定系数求出直线AC的解析式为y=-x-4，然后分类讨论：过D点作DM₁⊥OA交线段AC于M₁，如图，利用三角形中位性质得到DM₁=

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OC=2，则DM₁=DO，于是可判断△DM₁O为等腰三角形，易得M₁的坐标为（-2，-2）；过DO的中垂线交线段AC于M₂，如图，根据线段垂直平分线的性质得DM₂=OM₂，可判断△DM₂O为等腰三角形，利用AC的解析式可求出点M₂的坐标为（-1，-3）．

解答：解：（1）根据题意得

c=-4 2+2b+c=0

，解得

b=1 c=-4

，
所以该抛物线的解析式为y=

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2

x²+x-4；
（2）当y=0时，

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x²+x-4=0，解得x₁=-4，x₂=2，则A点坐标为（-4，0），
∵点D为0A中点，
∴D（-2，0），
设直线AC的解析式为y=mx+n，
把A（-4，0）、C（0，-4）分别代入得

-4m+n=0 n=-4

，解得

m=-1 n=-4

，
∴直线AC的解析式为y=-x-4，
过D点作DM₁⊥OA交线段AC于M₁，如图，
∵点D为0A中点，
∴DM₁=

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OC=2，
∴DM₁=DO，△DM₁O为等腰三角形，此时M₁的坐标为（-2，-2）；
过DO的中垂线交线段AC于M₂，如图，
则DM₂=OM₂，△DM₂O为等腰三角形，
当x=-1时，y=-x-4=1-4=-3，
∴点M₂的坐标为（-1，-3），
即M点的坐标为（-2，-2）或（-1，-3）．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．