Question

6．如图，等边三角形ABC的边长为1，P是AB边上的一个动点（P与A，B不重合），将其折叠点C与点P重合，折痕为EF．
（1）求证：△APE∽△BFP；
（2）设AP=x，$\frac{CE}{CF}$=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．

Answer 1

分析 （1）由∠APE+∠BPF=120°，∠BPF+∠BFP=120°，推出∠APE=∠BFP，即可解决问题．
（2））由△APE∽△BFP，推出$\frac{AP}{BF}$=$\frac{AE}{BP}$=$\frac{PE}{PF}$=$\frac{EC}{CF}$=y，推出AE=y（1-x），BF=$\frac{x}{y}$，推出EC=1-y（1-x），CF=1-$\frac{x}{y}$，再由$\frac{EC}{CF}$=y，列出式子即可解决问题．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵点C与点P重合，折痕为EF，
∴∠EPF=∠ECF=60°，
∴∠APE+∠BPF=120°，
∵∠BPF+∠BFP=120°，
∴∠APE=∠BFP，
∴△APE∽△BFP．

（2）解：∵△APE∽△BFP，
∴$\frac{AP}{BF}$=$\frac{AE}{BP}$=$\frac{PE}{PF}$=$\frac{EC}{CF}$=y，
∴AE=y（1-x），BF=$\frac{x}{y}$，
∴EC=1-y（1-x），CF=1-$\frac{x}{y}$，
∵$\frac{EC}{CF}$=y，
∴y=$\frac{1-y（1-x）}{1-\frac{x}{y}}$，
整理得y=$\frac{1+x}{2-x}$，（0＜x＜1）．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质、翻折变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．