Question

如图直线y=

4

3

x+4与x轴交于B点，与y轴交于A点，直线y=-2x+b过点A与x轴交于C点．
（1）求A、B、C三点坐标．
（2）过A、B、C三点作圆交y轴于一点D，再以OA为直径作圆交AB、AC于点E、F．求证：∠AEF=∠ADB．
（3）求EF长．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：代数几何综合题

分析：（1）由直线的解析式，分别令x、y为0，可求出点A、B的坐标，由于另一直线过A所以得到b=4，进而得到C的坐标；
（2）连接OF，首先利用AO为直径，利用同角的余角相等，得到∠AOF=∠ACO，然后多次利用同弧所对的圆周角相等，得到多对角相等，进行角的等量代换后可得答案；
（3）首先利用三角形相似，得到相关线段的比例式，求出AF=16×

1

2 5

=

8 5

5

，再利用△AEF∽△ACB，得到比例式，代入数值可求出EF的长．

解答：解：连接OF，
（1）x=0时，y=4
∴A（0.4）
同理B（-3，0），C（2，0）

（2）∵AB是直径，
∴∠AFO=90°，
∴∠AEF=∠AOF=∠ACO，
又∠ACO=∠ADB，
∴∠AEF=∠ADB

（3）由（1）知OA=4，OB=3，OC=2
∴AC=

42+22

=2

5

，AB=

42+32

=5
∵△AOF∽△ACO
∴

AF

AO

=

AO

AC

AF=16×

1

2 5

=

8 5

5

∵△AEF∽△ACB
∴

AF

AB

=

EF

BC

∴EF=

8 5

5

×5×

1

5

∴EF=

8 5

5

点评：本题考查了一次函数的综合应用；在同圆或等圆中，常常用到同弧对的圆周角相等做题，本题第二个问题就多次进行了应用，通过角的等量代换得到答案，是解题的关键，也是下一问解决的前提，注意掌握应用．