Question

如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB=∠DAE=90°，∠ABC=∠AED=α，BE与CD所在直线交于点P，连接AP．
（1）当α=45°时，试探究PC，PA，PB之间的关系；
（2）当α=30°时，试探究PC，PA，PB之间的关系；
（3）直接写出PC，PA，PB之间的关系（用含α的式子表示）．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）作AQ⊥PA交PC于点Q，易证△CAD≌△BAE，可得∠ABP=∠ACQ，易证∠BAP=∠CAQ，即可证明△CAQ≌△BAP，可得AP=AQ，PB=CQ，即可解题；
（2）连接PA，作AG⊥PA交PC于点G，易证△CAD∽△BAE，可得∠ABP=∠ACG，易证∠BAP=∠CAG，即可证明△ABP∽△ACG，可得

PB

CG

=

PA

AG

=

AB

AC

=

3

，即可求得CG=

3

3

PB，PG=

2 3

3

PA，即可解题；
（3）对（1）、（2）求证过程分析可得CG=PB•tanα，PG=

1

cosα

PA，即可解题．

解答：解：（1）作AQ⊥PA交PC于点Q，

∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠CAD=∠BAE，
在△CAD和△BAE中，

AB=AB ∠CAD=∠BAE AD=AE

，
∴△CAD≌△BAE（SAS），
∴∠ABP=∠ACQ，
∵∠BAP+∠BAQ=90°，∠BAQ+∠CAQ=90°，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△CAQ和△BAP中，

∠ABP=∠ACQ AB=AC ∠BAP=∠CAQ

，
∴△CAQ≌△BAP（ASA），
∴AP=AQ，PB=CQ，
∴PQ=

2

PA，
∵PC=PQ+CQ，
∴PC=

2

PA+PB；
（2）连接PA，作AG⊥PA交PC于点G，

∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠CAD=∠BAE，
∵∠ABC=∠AED=30°，
∴

BA

AC

=

AE

AD

=

3

，
∴△CAD∽△BAE，
∴∠ABP=∠ACG，
∵∠BAP+∠BAG=90°，∠BAG+∠CAG=90°，
∴∠BAP=∠CAG，
∴△ABP∽△ACG，
∴

PB

CG

=

PA

AG

=

AB

AC

=

3

，
∴CG=

3

3

PB，PG=

2 3

3

PA，
∴PC=CG+PG=

3

3

PB+

2 3

3

PA；
（3）由（1）（2）可得CG=PB•tanα，PG=

1

cosα

PA，
∴PC=PA

1

cosα

PA+PB•tanα；

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了相似三角形的判定和相似三角形对应边比例相等的性质，本题中求证△CAD≌△BAE和△CAQ≌△BAP是解题的关键．