Question

如图，四边形ABCD的三边（AB、BC、CD）和BD的长度都为5厘米，动点P从A出发（A→B→D）到D，速度为2厘米/秒，动点Q从点D出发（D→C→B→A）到A，速度为2.8厘米/秒．5秒后P、Q相距3厘米，试确定5秒时△APQ的形状．

Answer 1

考点：勾股定理的逆定理

专题：动点型

分析：首先确定5秒时P、Q的位置，此时P与D重合，Q在AB边上，且BQ=4厘米，然后根据勾股定理的逆定理判定△BPQ为直角三角形，且∠BQP=90°，再由邻补角定义得到∠AQP=90°，从而得出△APQ为直角三角形．

解答：解：∵AB=BD=5厘米，动点P从A出发（A→B→D）到D，速度为2厘米/秒，
∴5秒时P点运动路程为2×5=10（厘米），
而AB+BD=10厘米，
∴此时P与D重合．
∵AB=BC=CD=5厘米，动点Q从点D出发（D→C→B→A）到A，速度为2.8厘米/秒，
∴5秒时Q点运动路程为2.8×5=14（厘米），
而DC+CB+BA=15厘米，
∴Q在AB边上，且BQ=4厘米，如图．
在△BPQ中，∵BQ=4厘米，PQ=3厘米，BP=5厘米，
∴BQ²+PQ²=BP²，
∴△BPQ为直角三角形，∠BQP=90°，
∴∠AQP=180°-∠BQP=90°，
∴△APQ为直角三角形．

点评：本题考查了勾股定理的逆定理，行程问题中路程、速度、时间的关系，邻补角定义，难度适中．利用数形结合思想确定5秒时P、Q的位置是解题的关键．