Question

14．如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，延长EP交$\widehat{AC}$于点F，且在射线EP上找到一点D使得DC=DP．
（1）求证：直线DC是⊙O的切线；
（2）若∠CAB=30°，当F是$\widehat{AC}$的中点时，判断以A、O、C、F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接OC，利用已知条件和圆的基本性质证明OC⊥CD，即可得到直线DC是⊙O的切线；
（2）由∠CAB=30°易得△OBC为等边三角形，可得∠AOC=120°，由F是弧AC的中点，易得△AOF与△COF均为等边三角形，可得AF=AO=OC=CF，易得以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．

解答 （1）证明：连接OC，
∵DP=DC，
∴∠DPC=∠DCP，
∵∠DPC=∠APE，
∴∠APE=∠DCP，
∵PE⊥AB，
∴∠AEP=90°，
∴∠A+∠APE=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A，
∴∠OCA+∠DCP=90°，
∴OC⊥CD，
∴直线CD与⊙O相切；
（2）解：以A、O、C、F为顶点的四边形是菱形，理由如下：
连接BC，
∵∠CAB=30°，
∴∠B=60°，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠AOC=120°，
连接OF，AF，
∵F是$\widehat{AC}$的中点，
∴∠AOF=∠COF=60°，
∴△AOF与△COF均为等边三角形，
∴AF=AO=OC=CF，
∴四边形AOCF为菱形．

点评 本题主要考查了切线的性质、圆周角定理和等边三角形的判定等，作出恰当的辅助线利用切线的性质是解答此题的关键．