Question

5．如图，Rt△ABC，∠C=90°，点D为AB上的一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接AE．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若AC=8，OB=18，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）如图，连接OE．首先证明AC∥OE，推出∠CAE=∠AEO，由OA=OE，推出∠AEO=∠OAE=∠CAE即可证明．
（2）设OE=OA=OD=r，由OE∥AC，得$\frac{OE}{AC}$=$\frac{OB}{BA}$，即$\frac{r}{8}$=$\frac{18}{18+r}$，解方程即可．

解答 （1）证明：如图，连接OE．

∵BC是⊙O切线，
∴OE⊥BC，
∴∠OEB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠C=∠OEB=90°，
∴AC∥OE，
∴∠CAE=∠AEO，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE=∠CAE，
∴AE平分∠CAB．

（2）解：设OE=OA=OD=r，
∵OE∥AC，
∴$\frac{OE}{AC}$=$\frac{OB}{BA}$，
∴$\frac{r}{8}$=$\frac{18}{18+r}$，
∴r=6（负根已经舍弃）
∴BD=OB-OD=18-6=12．

点评 本题考查切线的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．