Question

14．如图（1），边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，记$\frac{a}{h}$=k，我们把k叫做这个菱形的“形变度”．
（1）若变形后的菱形有一个内角是60°，则k=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（2）如图1（2），已知菱形ABCD，若k=$\sqrt{5}$．
①这个菱形形变前的面积与形变后的面积之比为$\sqrt{5}$；
②点E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，求四边形EFGH形变前与形变后的面积之比．
（3）如图1（3），正方形ABCD由16个边长为1的小正方形组成，形变后成为菱形A′B′C′D′，
△AEF（E、F是小正方形的顶点），同时形变为△A′E′F′，设这个菱形的“形变度”为k．对于△AEF与△A′E′F′的面积之比你有何猜想？并证明你的猜想．当△AEF与△A′E′F′的面积之比等于2：$\sqrt{3}$时，求A′C′的长．

Answer 1

分析 （1）在直角三角形中，由∠B=60°，在Rt△ABC中，利用正弦函数求得；
（2）①求出形变前正方形的面积，形变后菱形的面积，两面积之比即为所求；
（3）过点D′作D′G⊥A′B′于G，由S_{△A′E′F′}=S_△A′HF′=$\frac{1}{4}$S_{菱形A′B′C′D′}，根据△AEF与△A′E′F′的面积之比等于2：$\sqrt{3}$时，求得形变度k=2：$\sqrt{3}$，在直角三角形A′D′G
中，由三角函数求得结果．

解答 解：（1）由题意得，∠B=60°，
在Rt△ABC中，∠B=60°，
∴h=AC=ABsin∠B=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴k=$\frac{a}{h}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；

（2）①形变前的面积=a²，
∵k=$\sqrt{5}$，∴$\frac{a}{h}$=$\sqrt{5}$，
∴h=$\frac{\sqrt{5}a}{5}$，
∴形变后的面积=a•$\frac{\sqrt{5}a}{5}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a²
∴菱形形变前的面积与形变后的面积之比：$\frac{{a}^{2}}{{\frac{\sqrt{5}}{5}a}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
②∵点E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，
∴四边形EFGH形变前的面积为$\frac{1}{2}{a^2}$，
∵EH是△ABD的中位线，
∴EH=$\frac{1}{2}$BD，同理EF=$\frac{1}{2}$AC，
∵四边形EFGH是矩形，
∴矩形EFGH的面积=$\frac{1}{2}BD•\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}{S_{ABCD}}=\frac{1}{2}ah$，
∴四边形EFGH形变前的面积与形变后的面积之比是$\frac{{\frac{1}{2}{a^2}}}{{\frac{1}{2}ah}}=\frac{a}{h}=\sqrt{5}$，
（3）猜想：面积之比是$\frac{1}{k}$；
理由：过点D′作D′G⊥A′B′于G，
则$\frac{A′B′}{D′G}$=k，∵A′B′=B′C′=C′D′=D′A′=4，
∴D′G=$\frac{4}{k}$，∴S_{菱形A′B′C′D′}=A′B′•D′G=$\frac{16}{k}$，
∴S_{△A′E′F′}=S_△A′HF′=$\frac{1}{4}$S_{菱形A′B′C′D′}，
∴S_{△A′E′F′}$\frac{1}{4}$•$\frac{16}{k}$=$\frac{4}{k}$，
S_△AEF=12-4-1-3=4，
∴$\frac{{S}_{△A′E′F′}}{{S}_{△AEF}}$$\frac{\frac{4}{k}}{4}$=$\frac{1}{k}$，
当△AEF与△A?E?F?的面积之比等于2：$\sqrt{3}$时，k=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
∴A′D′：D′G=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
∴∠D′A′G=60°，
∴∠D′A′C′=60°，∵A′D′=4，
∴A′C′=4．

点评 本题考查了正方形的性质，菱形的性质，正方形的面积和菱形的面积的求法，格点三角形的面积，同底等高的三角形的面积相等．