Question

17．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）若CD=5，求AC的长．
（2）求证：AB=AC+CD．

Answer 1

分析 （1）依据角平分线的性质可证明DC=DE，接下来证明△BDE为等腰直角三角形，从而得到DE=EB=5，然后依据勾股定理可求得BD的长，然后由AC=BC=CD+DB求解即可；
（2）先证明AC=AE，然后由EB=DC=DC求解即可．

解答 解：（1）∵∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴CD=DE=5．
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠B=45°．
∴△△DEB为等腰直角三角形，
∴DC=EB=5．
在Rt△BDE中，依据勾股定理可知BD=5$\sqrt{2}$．
∴AC=BC=DC+DB=5+5$\sqrt{2}$．
（2）在Rt△ACD和Rt△AED中$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．
∴AC=AE．
又∵CD=DE=EB，
∴AC+CD=AE+EB=AB．

点评 本题主要考查的是角平分线的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，找出图中全等三角形是解题的关键．