Question

如图，⊙O的圆内接四边形ABCD中，AC是直径，且AD=CD，AB=8，BD=10

2

，则tan∠BDC=

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,勾股定理,圆周角定理,锐角三角函数的定义

专题：计算题

分析：如图，作DE⊥BE，作DF⊥BC，由AD=CD，利用等弦对等角得到∠ABD=∠CBD，即BD为角平分线，根据三个角为直角的四边形为矩形，得到四边形DEBF为正方形，由BD的长求出正方形边长为10，利用AAS得到三角形ADE与三角形CDF全等，即AE=CF，由BE-AB求出AE与CF的长，由BF+CF求出BC的长，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出tan∠BAC的值，即为∠BDC的值．

解答：解：如图，作DE⊥BE，作DF⊥BC，
∵AD=CD，
∴∠ABD=∠CBD，即BD为∠ABC的角平分线，
∵AC为圆的直径，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠DEB=∠ABC=∠BFD=90°，
∴四边形BFDE为正方形，BD=10

2

，
∴BF=BE=10，∠EDF=90°，
∴∠EDA+∠ADF=90°，∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠EDA=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，

∠AED=∠CFD=90° ∠EDA=∠CDF AD=CD

，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF=BE-AB=10-8=2，
∴BC=BF+CF=10+2=12，
∴tan∠BDC=tan∠BAC=

BC

AB

=

12

8

=

3

2

．
故答案为：

3

2

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线性质，勾股定理，圆周角定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．