Question

如图，以△ABC各边向同一侧作三个等边三角形△ABD，△ACE，△BCF．
（1）四边形AEFD是什么形状？
（2）当△ABC满足条件

 

时，四边形AEFD不存在；
（3）在△ABC中，当AC=3，AB=4，BC=5时，求四边形AEFD的面积．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：几何图形问题,推理填空题

分析：（1）首先证明△ABC≌△DBF可得AC=DF=AE，再证明△ABC≌△EFC可得AB=EF=AD，进而可证明四边形DAEF是平行四边形；
（2）A与F重合，四边形AEFD不存在，也就是△ABC是等边三角形时；
（3）根据AB=4，AC=3，BC=5可利用勾股定理逆定理可得∠BAC=90°，然后得到∠DAE=150°，然后计算出∠FDA=180°-∠DAE=30°，再利用平行四边形的面积公式计算出面积即可．

解答：解：（1）四边形AEFD是平行四边形；
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，BD=BA，BF=BC
∴∠DBF=∠ABC．
在△ABC与△DBF中，

BD=BA ∠DBF=∠ABC FB=CB

，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE，
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB=EF=AD，
∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．

（2）△ABC是等边三角形时，A与F重合，四边形AEFD不存在；

（3）∵如图，△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，
∴BC²=AB²+AC²，
∴∠BAC=90°，
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAE=150°．
∵四边形DAEF是平行四边形，
∴FD∥AE，
∴∠FDA=180°-∠DAE=30°，
∴S_?AEFD=AD•DF•sin30°=3×4×

1

2

=6．
答：四边形AEFD的面积是6．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质、判定，面积计算，以及等边三角形的性质，关键是掌握平行四边形的判定定理．