Question

3．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为每秒2cm和1cm，FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）连接EF，若运动时间t=$\frac{2}{3}$秒时，求证：△EQF是等腰直角三角形；
（2）连接EP，设△EPC的面积为S cm²，求S与t的关系式，并求当S的值为3cm²时t的值；
（3）若△EPQ与△ADC相似，求t的值．

Answer 1

分析 （1）通过计算发现EQ=FQ=6，由此即可证明；
（2）构建二次函数，解方程即可得到结论；
（3）分两种情形讨论，Ⅰ、如图1中，点E在Q的左侧．①当△EPQ∽△ACD时，②当△EPQ∽△CAD时，列出方程分别求解即可．Ⅱ、如图2中，点E在Q的右侧，只存在△EPQ∽△CAD列出方程即可解决．

解答 （1）证明：若运动时间t=$\frac{2}{3}$秒，则
BE=2×$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$（cm），DF=$\frac{2}{3}$（cm），
∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC=8（cm），AB=DC=6（cm），∠D=∠BCD=90°
∵∠D=∠FQC=∠QCD=90°，
∴四边形CDFQ也是矩形，
∴CQ=DF，CD=QF=6（cm），
∴EQ=BC-BE-CQ=8-$\frac{4}{3}$-$\frac{2}{3}$=6（cm），
∴EQ=QF=6（cm），
又∵FQ⊥BC，
∴△EQF是等腰直角三角形，
（2）解：∵∠FQC=90°，∠B=90°，
∴∠FQC=∠B，
∴PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴$\frac{PQ}{AB}$=$\frac{QC}{BC}$，
即$\frac{PQ}{6}$=$\frac{t}{8}$，
∴PQ=$\frac{3}{4}$t，
∵S_△EPC=$\frac{1}{2}$•EC•PQ，
∴S=$\frac{1}{2}$（8-2t）•$\frac{3}{4}$t=-$\frac{3}{4}$t²+3t
当S=3时，-$\frac{3}{4}$t²+3t=3，
解之得：t₁=t₂=2∴当S=3时t的值为2
（3）解：分两种情况讨论：
Ⅰ．如图1中，点E在Q的左侧．
①当△EPQ∽△ACD时，
可得$\frac{PQ}{CD}=\frac{EQ}{AD}$，即$\frac{\frac{3}{4}t}{6}$=$\frac{8-3t}{8}$，解得 t=2．
②当△EPQ∽△CAD时，
可得$\frac{PQ}{CD}$=$\frac{EQ}{CD}$，即$\frac{\frac{3}{4}t}{8}$=$\frac{8-3t}{6}$，解得t=$\frac{128}{57}$．

Ⅱ．如图2中，点E在Q的右侧．
∵0＜t＜4，
∴点E不能与点C重合，
∴只存在△EPQ∽△CAD
可得$\frac{PQ}{AD}$=$\frac{EQ}{CD}$，即$\frac{\frac{3}{4}t}{8}$=$\frac{3t-8}{6}$，解得t=$\frac{128}{39}$，
故若△EPQ与△ADC相似，则t的值为2或$\frac{128}{57}$或$\frac{128}{39}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、二次函数的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质，把问题转化为方程解决，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．