Question

已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a²（b-c）+b²（c-a）+c²（a-b）=0，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．

Answer 1

考点：因式分解的应用

专题：探究型

分析：先把前面两项展开得到a²b-a²c+b²c-ab²+c²（a-b）=0，再分组分解，得到公因式（a-b），则ab（a-b）-c（a-b）（a+b）+c²（a-b）=0，所以把等式左边分解得到（a-b）（ab-ac-bc+c²）=0，接着在把中括号内分组分解得到（a-b）（b-c）（a-c）=0，然后根据有理数积的性质得到a-b=0或b-c=0或a-c=0，于是根据等腰三角形的判定方法进行判断．

解答：解：△ABC为等腰三角形．理由如下：
∵a²（b-c）+b²（c-a）+c²（a-b）=0，
∴a²b-a²c+b²c-ab²+c²（a-b）=0，
∴ab（a-b）-c（a²-b²）+c²（a-b）=0，
∴ab（a-b）-c（a-b）（a+b）+c²（a-b）=0，
∴（a-b）（ab-ac-bc+c²）=0，
∴（a-b）[a（b-c）-c（b-c）]=0，
∴（a-b）（b-c）（a-c）=0，
∴a-b=0或b-c=0或a-c=0，
∴△ABC为等腰三角形．

点评：本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．