Question

12．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥BD交AB于D，若AD=$\sqrt{2}$AE，则cosA的值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 过点D作DF⊥AB于点F，过点E作GE⊥AC于点G，根据角平分线的性质可知DF=CD，根据DE⊥BD可知∠GDE=∠FDE，由易证△AGE∽△AFD，设AE-1，CD=x，根据相似三角形的性质可求EF，根据勾股方程即可求出x的值，最后根据定义即可求出cosA的值．

解答 解：过点D作DF⊥AB于点F，过点E作GE⊥AC于点G，
∴DF=CD，∠FBD=∠CBD，
∵DE⊥BD，
∴∠DBE+∠BDF=∠EDF+∠BDF=90°，
∴∠DBE=∠EDF，
∵∠GDE+∠CDB=∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠GDE=∠CBD，
∴∠GDE=∠FDE，
∵GE⊥AC，EF⊥DF，
∴GE=EF，DG=DF，
设AE=1，CD=x，
∴AD=$\sqrt{2}$，GD=DF=CD=x，
∴AG=$\sqrt{2}$-x，
∵∠A=∠A，∠AGE=∠AFD=90°，
∴△AGE∽△AFD，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AG}{AF}$，
∴AF=2-$\sqrt{2}$x，
∴EF=AF-AE=1-$\sqrt{2}$x，
∴GE=1-$\sqrt{2}$x，
在Rt△AGE中，
由勾股定理可知：1=（$\sqrt{2}$-x）²+（1-$\sqrt{2}$x）²，
化简可得：3x²-4$\sqrt{2}$x+2=0，
∴解得：x=$\sqrt{2}$，x=$\frac{\sqrt{2}}{3}$
当x=$\sqrt{2}$时，
AG=$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=0，不符合题意，舍去；
故x=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴cos∠A=$\frac{AG}{AE}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$

点评 本题考查解直角三角形，涉及锐角三角函数，勾股定理，一元二次方程的解法，角平分线的性质等知识，综合程度较高．