Question

(2005　哈尔滨)如图所示，点是上一点，与相交于A、D两点，BC⊥AD，垂足为D，分别交、于B、C两点，延长交于E，交BA的延长线于F，交AD于G，连接AC．

(1)求证：∠BGD=∠C；

(2)若=45°，求证：AD=AF

(3)若BF=6CD，且线段BD、BF的长是关于x的方程的两个实数根，求BD、BF的长．

Answer 1

答案：略
解析：

解　(1)∵BC⊥AD于D， ∴∠BDA=∠CDA=90°， ∴AB、AC分别为、的直径． 如图，∵∠2=∠3，∠BGD＋∠2=90°，∠C＋∠3=90°，∴∠BGD=∠C． (2)∵=45°，∴∠ABD=45°，∵， ， ∴∠4=22.5°， ∵，∴ ∴AD=AF （3）如图 设CD=k,∵BF=6CD,∴BF=6k    连接AE,则，∴， ， ∴AE·BF=BD·AF 又∵在△AO2E和△DO2C中，AO2=DO2，∠AO2E=∠DO2C，O2E=O2C， △AO2E≌△DO2C，∴AE=CD=k,∴6k2=BD·AF=(BC-CD)(BF-AB) ∵∠BO2A=90°,AO2=CO2 ∴BC=AB,∴6k2=(BC-k)(6k-BC) ∴BC2-7kBC+12k2=0 解得，BC=3k,或BC=4k 当BC=3k时，BD=2k ∵BD、BF的长是关于x的方程x2-(4m+2)x+4m2+8=0的两个实数根 ∴由根与系数的关系知：BD+BF=2k+6k=8k=4m+2,BD·BF=12k2 =4m2+8, 整理得：4m2-12m+29=0 ∵△=(-12)2-4×4×29=-320<0,此方程无实数根，BC=3k不成立。 当BC=4k时，BD=3k， ∴3k＋6k=4m＋2，，整理，得：，解得；． ∴原方程可化为， 解得：．∴BD=6，BF=12．

提示：

点评　这是一个以几何为背景的综合题，综合二次函数以及三角形、圆等知识，知识面广，综合性强，从中可以看出考生能力的高低．