Question

19．如图，以△ABC的边AB，AC为边长向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD相交于点O．△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，且BC=2，OB的长为$\frac{4\sqrt{7}}{7}$．

Answer 1

分析 过点B作BF⊥CD于点F，先证明△ADC≌△ABE，可知∠ADC=∠ABE，所以∠DAB=∠DOB=60°，由因为∠ABC+∠DBA=90°，所以可求出DB、CD、BF的长度，进而求出OB的长．

解答 解：过点B作BF⊥CD于点F，
由题题可知：AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠AEC=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△ADC与△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴∠ADC=∠ABE，
∴∠DAB=∠DOB=60°，
∵∠DBC=∠DBA+∠ABC，
∴∠DBC=90°，
∵BC=2，
∴AC=1，AB=$\sqrt{3}$，
∴DB=$\sqrt{3}$，
由勾股定理可知：CD=$\sqrt{7}$，
∵DB•BC=CD•BF，
∴BF=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
∴sin∠BOF=$\frac{BF}{OB}$，
∴OB=$\frac{BF}{sin60°}$=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$
故答案为：$\frac{4\sqrt{7}}{7}$

点评 本题考查全等三角形的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质．