题目内容
如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE⊥AB交BC于点D，交⊙O于点E，F在DA的延长线上，且AF=AD．若AF=3，tan∠ABD=| 3 |
| 4 |
考点：三角形的外接圆与外心,勾股定理,圆周角定理,解直角三角形
专题：
分析：如图，连接BE．利用等腰三角形“三线合一”的性质得到BF=BD；然后根据圆周角定理推知∠FBA=∠ABC=∠C=∠E，BE是⊙O的直径．利用锐角三角函数的定义可以来求BE的长度．
解答：
解：如图，连接BE．
∵AF=AD，AB⊥EF，
∴BF=BD．
∵AB=AC，
∴∠FBA=∠ABC=∠C=∠E．
∵tan∠ABD=
，
∴tan∠E=tan∠FBA=
．
在Rt△ABF中，∠BAF=90°．
∵tan∠FBA=
=
，AF=3，
∴AB=4．
∵∠BAE=90°，
∴BE是⊙O的直径．
∵tan∠E=tan∠FBA=
，AB=4，
∴设AB=3x，AE=4x，
∴BE=5x，
∵3x=4，
∴BE=5x=
，
即⊙O的直径是
．
解：如图，连接BE．∵AF=AD，AB⊥EF，
∴BF=BD．
∵AB=AC，
∴∠FBA=∠ABC=∠C=∠E．
∵tan∠ABD=
| 3 |
| 4 |
∴tan∠E=tan∠FBA=
| 3 |
| 4 |
在Rt△ABF中，∠BAF=90°．
∵tan∠FBA=
| AF |
| AB |
| 3 |
| 4 |
∴AB=4．
∵∠BAE=90°，
∴BE是⊙O的直径．
∵tan∠E=tan∠FBA=
| 3 |
| 4 |
∴设AB=3x，AE=4x，
∴BE=5x，
∵3x=4，
∴BE=5x=
| 20 |
| 3 |
即⊙O的直径是
| 20 |
| 3 |
点评：本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理、圆周角定理和解直角三角形．利用圆周角定理推知BE是圆O的直径是解题的关键．
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