Question

1．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且A（-1，0）．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）判断△ABC的形状并证明你的结论；
（3）若$\frac{1}{2}$x²+bx＜0，求x的取值范围；
（4）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，当CM+AM的值最小时，求出点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点A的坐标代入函数解析式来求b的值；然后把函数解析式转化为顶点式，即可得到点D的坐标；
（2）由两点间的距离公式分别求出AC，BC，AB的长，再根据勾股定理即可判断出△ABC的形状；
（3）解不等式$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x＜0即可；
（4）根据抛物线的对称性可知AM=BM．所以AM+CM=BM+CM≥BC，根据BC的解析式来求点M的坐标．

解答 解：（1）把A（-1，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2得到：0=$\frac{1}{2}$×（-1）²-b-2，
解得b=-$\frac{3}{2}$，
则该抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2．
又∵y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}$，
∴顶点D的坐标是（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$）；

（2）由（1）知，该抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2．则C（0，-2）．
又∵y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4），
∴A（-1，0），B（4，0），
∴AC=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{5}$，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形；

（3）依题意得：$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x＜0，
解得0＜x＜3；

（4）由（2）知，B（4，0），C（0，-2），
由抛物线的性质可知：点A和B关于对称轴对称，则BC与抛物线对称轴的交点即为所求的M点，如答图所示：
∴AM=BM，
∴AM+CM=BM+CM≥BC=2$\sqrt{5}$．
∴点M即为所求的点，易知BC的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x-2，令x=$\frac{3}{2}$，得y=-$\frac{5}{4}$，
∴M（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{4}$）．

点评 此题考查了二次函数综合应用，要注意数形结合，认真分析，仔细识图．注意待定系数法求函数的解析式，注意函数交点坐标的求法．