题目内容

2．请从以下A、B两题中任选一题解答，若两题都做，按A题给分．
A．如图1，△ABC和△FED均为等腰直角三角形，AC与BE重合，AB=AC=EF=3，∠BAC=∠DEF=90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB重合时，旋转停止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图2．
（1）始终与△AGC相似的三角形是△HAB和△HGA；
（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图2的情形说明理由）；
（3）在整个旋转过程中，当旋转角为多少度时，△AGH是等腰三角形？请直接写出旋转的度数．
B．如图（1），正方形AEFG的边长为1，正方形ABCD的边长为3，且点F在AD上；
（1）求S△DBF；
（2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得到图（2）中的S△DBF；
（3）将正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S△DBF存在最大值与最小值，请直接写出最大值为$\frac{15}{2}$，最小值为$\frac{3}{2}$．
我选做的是A题．

分析 A（1）根据等腰直角三角形和旋转的性质得出：∠B=∠ACB=∠HAG=45°，∠CAG=∠H，即可判断；
（2）由（1）运用：△AGC∽△HAB得出线段比相等，代入常量和变量即可；
（3）分类讨论等腰三角形，求出旋转角：∠CAG即可．
B（1）运用正方形性质求出DF和AB，再根据三角形面积公式求解即可；
（2）连接AF，证明AF∥BD，根据三角形ABD的面积求解；
（3）以点A为圆心以AF长为半径画圆，交过点A与BD垂直的直线于点F″，F′，
由题意可知BD的长为定值，当F转至F″时三角形面积最大，转至点F′时三角形面积最小，根据三角形面积公式求值．

解答 解：A．
（1）由等腰直角三角形的性质和旋转的性质可知：∠B=∠ACB=∠HAG=45°，∠CAG=∠H，
∴始终与△AGC相似的三角形是：△HAB和△HGA；
（2）由（1）知：△AGC∽△HAB，
∴$\frac{CG}{AB}=\frac{AC}{BH}$，即$\frac{x}{3}=\frac{3}{y}$，
∴y=$\frac{9}{x}$；
（3）如图：

由题意可知：∠HAG=45°，且在旋转过程中保持不变，
当AG=HG时，∠H=∠HAG=45°，可求∠AGH=90°，
∴∠GAC=90°-45°=45°，
此时，旋转角为45°；
当AG=AH时，∠AGH=（180°-45°）÷2=62.5°，
∴∠GAC=180°-45°-62.5°=62.5°，
此时，旋转角为62.5°；
当AH=GH时，∠AGH=∠HAG=45°，（E与B重合，舍去）
综上所述：当旋转角为62.5°或45°时，△AGH是等腰三角形．
B．（1）如图1

由正方形AEFG的边长为1，正方形ABCD的边长为3，可求AF=$\sqrt{A{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{2}$，AD=AB=3，
DF=AD-AF=3-$\sqrt{2}$，
∴S△DBF=$\frac{1}{2}$DF×AB=$\frac{9}{2}$-$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
（2）如图2

连接AF，可知∠FAG=∠DBA=45°，
∴AF∥BD，
∴S△DBF=S△ABD=$\frac{1}{2}$×AB×AD=$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$；
（3）如图3

以点A为圆心以AF长为半径画圆，交过点A与BD垂直的直线于点F″，F′，
由题意可知BD的长为定值，当F转至F″时三角形面积最大，转至点F′时三角形面积最小，
在正方形ABCD中，可求OA=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
∴OF″=$\sqrt{2}$+$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，OF′=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$，
S△DBF的最大面积=$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}$×（$\sqrt{2}$$+\frac{3}{2}\sqrt{2}$）=$\frac{15}{2}$，
S△DBF的最小面积=$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}$×（$\frac{3}{2}\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$）=$\frac{3}{2}$．

点评 此题主要考查图形的旋转变换问题，知道旋转的相关性质，会分类讨论等腰三角形是解题的关键．

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