Question

如图，已知点A在双曲线y=

6

x

上，且OA=4，过A作AC⊥x轴于C，OA的垂直平分线交OC于B，则△AOC的面积=

 

；△ABC的周长为

 

．

Answer 1

分析：首先由反比例函数比例系数k的几何意义，直接得出△AOC的面积=

1

2

|k|=3；
如果设A（x，y），那么由线段垂直平分线的性质可知AB=OB，则△ABC的周长=OC+AC=x+y．由点A在双曲线y=

6

x

上，且OA=4，可列出方程组，运用完全平方公式将方程组变形，求出x+y的值，从而得出结果．

解答：解：∵点A在双曲线y=

6

x

上，过A作AC⊥x轴于C，
∴△AOC的面积=

1

2

|k|=3；
设点A的坐标为（x，y）．
∵点A在第一象限，
∴x＞0，y＞0．
∵OA的垂直平分线交OC于B，
∴AB=OB，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=OB+BC+AC=OC+AC=x+y．
∵点A在双曲线y=

6

x

上，且OA=4，
∴

y= 6 x ① x2+y2=16②

由①得，xy=6③，
③×2+②，得x²+2xy+y²=28，
∴（x+y）²=28，
∵x＞0，y＞0，
∴x+y=2

7

．
∴△ABC的周长=2

7

．
故答案为：3，2

7

．

点评：此题综合考查了反比例函数的性质，线段垂直平分线的性质，完全平方公式等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．