Question

如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，∠B=30°，以D为圆心，DC为半径的圆交AD于点E．若DC=4，BC=8+4

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，求证：直线AB与⊙O相切．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：作DF⊥AB于F，AH⊥BC于H，连结BD，如图，先证明四边形AHCD为矩形得到AH=CD=4，再在Rt△ABH中，根据含30度的直角三角形三边的关系得AB=2AH=8，BH=

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AH=4

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，则CH=NC-BH=8，所以AB=AD=8，得到∠1=∠3，加上由AD∥BC得到∠2=∠3，则∠1=∠2，然后根据角平分线性质得DF=DC=4，最后根据切线的判定方法可得直线AB与⊙O相切．

解答：证明：作DF⊥AB于F，AH⊥BC于H，连结BD，如图，
∵AD∥BC，∠C=90°，
∴∠ADC=90°，
∴四边形AHCD为矩形，
∴AH=CD=4，
在Rt△ABH中，∵∠ABH=30°，AH=4，
∴AB=2AH=8，BH=

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AH=4

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，
∵BC=8+4

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，
∴CH=NC-BH=8，
∴AD=8，
∴AB=AD，
∴∠1=∠3，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∵DF⊥AB，DC⊥BC，
∴DF=DC=4，
∴直线AB与⊙O相切．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．