Question

已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标是（4，1），与y轴的交点为A（0，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若B（，0），C是（1）中抛物线上的点，CD⊥OB，垂足为D，△AOB∽△BDC．
①求点C的坐标；
②试判定以AC为直径的圆M与x轴有怎样的位置关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-4）²+1，
∵抛物线经过A（0，5），
∴5=a（0-4）²+1，
∴a=
∴抛物线的解析式为y=（x-4）²+1，
即y=x²-2x+5，
答：抛物线的解析式为y=x²-2x+5．

（2）解：①∵C在抛物线上，
∴设C（m，m²-2m+5），
即CD=m²-2m+5　OD=m，
∴BD=OD-OB=m-，
∵△AOB∽△BDC，
∴，
即=，
解得m=5，
∴C（5，），
答：C的坐标是（5，）．

②答：以AC为直径的圆M与x轴的位置关系是相切．
理由是：∵∠CBD=∠BAO，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBD+∠ABO=90°，
∴∠ABC=90°，
即△ABC是直角三角形，
连接MB，
∵M是AC的中点，
∴MB=AC，
∵OB=BD=，
∴MB∥OA，
∴MB⊥x轴，
即圆M与x轴相切．
分析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-4）²+1，把A的坐标代入求出a即可；
（2）①设C（m，m²-2m+5），求出CD、OD、BD，根据△AOB∽△BDC得到方程，求出方程的解即可求出答案；
（3）求出△ABC是直角三角形，连接MB，根据M是AC的中点，和OB=BD，推出MB∥OA，即可得出答案．
点评：本题主要考查对平行线的判定，相似三角形的性质和判定，用待定系数法求二次函数的解析式，直角三角形斜边上的中线的性质，解一元一次方程，切线的判定，直线与圆的位置关系等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．