Question

D是△ABC的BC边上一动点（B、C点除外），作△ABC的外接圆，点E在劣弧

BC

上．
（1）当AD为△ABC的高，且AE经过圆心时（如图）．求证：AB•AC=AE•AD；
（2）当AD与BC不垂直，且AE不过圆心时，要使（1）中的结论成立，还需增加一个什么条件？请说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）连接BE，证明Rt△ABE∽Rt△ADC，利用相似比证明结论；
（2）添加条件，必须使△ABE∽△ADC，连接BE得∠E=∠BCA，还需要添加角的一个条件即可，本题答案不唯一．

解答：（1）证明：连接BE，∵AE为直径，
∴∠ABE=90°，
∵AD是△ABC的高，∠ACD=∠AEB，
∴Rt△ABE∽Rt△ADC，
∴

AB

AD

=

AE

AC

，
∴AB•AC=AE•AD；

（2）要使AB•AC=AE•AD成立，
须增加条件∴∠BAE=∠CAD．
此时的图形有两种情况，
如图a、图b，在图a中连接BE，
可得△ABE∽△ADC，推得
AB•AC=AE•AD，
图b中同理可得．
（增加条件为∠CAE=∠BAD也正确）

点评：本题考查了圆中相似三角形的判定与性质，圆周角定理．关键是利用圆周角相等找三角形相似的条件．