题目内容
已知：如图，把等腰△ABO放在直角坐标系中，AB=AO，点A的坐标是（-2，3），过△ABO的重心Q作x轴的平行线l，把△ABO沿直线l翻折，使得点A'落在第三象限．（1）试直接写出点A′的坐标；
（2）若双曲线y=
| a |
| x |
（3）问：y轴上是否存在点P，使得△A′CP是直角三角形？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
考点：反比例函数综合题
专题：压轴题,函数思想
分析：（1）由已知点Q是三角形的重心，可写出Q的坐标，又由过△ABO的重心Q作x轴的平行线l，把△ABO沿直线l翻折，使得点A'落在第三象限，可得出A′的坐标．
（2）由（1）可得出C点的纵坐标为1，也可写出双曲线的解析式，因此可得出C点的坐标，继而求出直线AC，把O（0，0）代入直线AC验证即可．
（3）可分三种情况）①当∠A'CP=90°时，②当∠PA'C=90°时，③当∠A'PC=90°时，分类讨论得出．
（2）由（1）可得出C点的纵坐标为1，也可写出双曲线的解析式，因此可得出C点的坐标，继而求出直线AC，把O（0，0）代入直线AC验证即可．
（3）可分三种情况）①当∠A'CP=90°时，②当∠PA'C=90°时，③当∠A'PC=90°时，分类讨论得出．
解答：解：（1）由题意：Q（-2，1），直线l为：y=1，则A'（-2，-1）；
（2）将A'（-2，-1）代入双曲线解析式，得双曲线解析式为：y=
．把y=1代入y=
，得C（2，1），再求得直线AC的解析式为：y=2x，把点O（0，0）代入y=2x，左=右，故直线A'C经过原点O．
（3）①当∠A'CP=90°时，设过点C的直线CP的解析式为：y=mx+n（m≠0），直线CP与x轴的交点为D，又过点C（2，1），则2m+n=1，n=1-2m，故y=mx+（1-2m），点D(
， 0)，作CH⊥x轴，由△OHC∽△CHD可得：
=
，即CH2=OH•HD，
∴12=2×(
-2)，解得：m=-2，故直线CP的解析式为y=-2x+5，令x=0，则y=5．故点P的坐标为P1（0，5）．
②当∠PA'C=90°时，由双曲线的对称性可得另一点P的坐标为P2（0，-5）．
③当∠A'PC=90°时，以A'C为直径作⊙O交y轴于两点P3、P4，由“直径所对的圆周角是直角”可知P3、P4符合题意，在Rt△OHC中，由勾股定理可得：OC=
，则点P3(0，
)、P4(0， -
)．
（2）将A'（-2，-1）代入双曲线解析式，得双曲线解析式为：y=
| 2 |
| x |
| 2 |
| x |
（3）①当∠A'CP=90°时，设过点C的直线CP的解析式为：y=mx+n（m≠0），直线CP与x轴的交点为D，又过点C（2，1），则2m+n=1，n=1-2m，故y=mx+（1-2m），点D(
| 2m-1 |
| m |
| OH |
| CH |
| CH |
| HD |
∴12=2×(
| 2m-1 |
| m |
②当∠PA'C=90°时，由双曲线的对称性可得另一点P的坐标为P2（0，-5）．
③当∠A'PC=90°时，以A'C为直径作⊙O交y轴于两点P3、P4，由“直径所对的圆周角是直角”可知P3、P4符合题意，在Rt△OHC中，由勾股定理可得：OC=
| 5 |
| 5 |
| 5 |
点评：本题考查的知识点是反比例函数的综合运用．关键是（1）由已知先写出Q的坐标，再根据翻折写出A′的坐标．（2）由已知求出直线AC的解析式，把O（0，0）代入验证．（3）要求分三种情况分类讨论求解．
练习册系列答案
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| A、11b | ||
| B、36a | ||
C、
| ||
D、
|
已知a，b，c为正数，且a≠b，若x=
+
+
，y=
+
+
，则x与y的大小关系是（ ）
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| c |
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| A、x＞y |
| B、x＜y |
| C、x-y |
| D、随a，b，c的取值而变化 |