Question

如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，且BE：ED=1：3．若BC=3，则AE的长为

 

．

Answer 1

考点：矩形的性质

专题：

分析：由在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，且BE：ED=1：3，易证得△OAB是等腰三角形，然后利用三角函数求得答案．

解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OB，
∵BE：ED=1：3，
∴BE：BD=1：4，
∴BE：BO=1：2，
∵AE⊥BD，
∴AB=AO，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABO=60°，
∵BC=3，
∴AB=

BC

tan60°

=

3

．
∴AE=AB•sin60°=

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．