Question

如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，∠A=36°，AC=BC，AC²=AD•AB．
（1）求证：△ADC和△BDC都是等腰三角形．
（2）若AB=1，求AC的值（精确到0.001）．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰三角形的判定

专题：

分析：（1）由条件可证明△ACD∽△ABC，可得∠ACD=∠B=36°，可求得DC=DA，且∠CDB=∠DCB=72°，可得BC=BD，可证得结论；
（2）过C作AE⊥AB，利用等腰三角形的性质可知AE=

1

2

，在Rt△ACE中利用∠A的余弦值可求得AC．

解答：（1）证明：∵AC²=AD•AB，
∴

AC

AD

=

AB

AC

，且∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ACD=∠B，
又∵AC=BC，
∴∠A=∠B=36°，
∴∠A=∠ACD=36°，
∴AD=CD，即△ADC为等腰三角形，
∴∠CDB=2∠A=72°，且∠B=36°，
∴∠BCD=∠CDB=72°，
∴BC=BD，
∴△BDC为等腰三角形；
（2）解：如图，过C作CE⊥AB于点E，

∵AC=BC，
∴AE=

1

2

AB=

1

2

，
在Rt△ACE中，cos∠A=

AE

AC

，
∴

1 2

AC

=cos36°，
∴AC=

1 2

cos36°

≈

1 2

0.8090

=0.618．
∴AC≈0.618．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质及等腰三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应角相等和等角对等边是解题的关键．