Question

如图，AB为⊙O的直径，直线与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥于点D，交⊙O于点E．

（1）求证：∠CAD＝∠BAC；[（2）若sin∠BAC＝，BC＝6，求DE的长．

Answer 1

（1）见解析 （2）DE=

解析试题分析：（1）连接OC，根据切线性质得到AD∥CD，则∠CAD=∠ACO，根据OC=OA得到∠ACO=∠OAC，从而说明∠CAD=∠BAC；（2）做BF⊥l，连接BE，根据直径所对的圆周角等于90°说明四边形DEBF为矩形，根据垂直的定义说明∠BCF=∠BAC，根据∠BAC的正弦值得出BF的长度，从而得出DE的长度.
试题解析：（1）证明：连接OC，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，
  
∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠CAD＝∠ACO．又∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠OAC，∴∠CAD＝∠OAC，即∠CAD＝∠BAC．    
（2）过点B作BF⊥于点F，连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，
又AD⊥于点D，∴∠AEB＝∠ADF＝∠BFD＝90°，∴四边形DEBF是矩形，

∴DE＝BF．  ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCF＝90°．∵∠ADC＝90°，∴∠ACD＋∠CAD＝90°，
∴∠BCF＝∠CAD．  ∵∠CAD＝∠BAC，  ∴∠BCF＝∠BAC． 
在Rt△BCF中，BC＝6，    sin∠BCF＝＝sin∠BAC＝，
∴BF＝＝    ∴DE＝BF＝．      
考点：切线的性质、平行线的性质、矩形的性质、锐角三角函数的应用.