Question

13．如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于E，DE=6cm，CE=2cm，
（1）若∠AED=45°，求AB的长；
（2）若EB=3cm，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）过O作OF⊥AB于F，连接OA，求出OA，解直角三角形求出OF，根据勾股定理求出AF，根据垂径定理得出AB=2AF，代入求出即可；
（2）根据相交弦定理求出AE，即可得出答案．

解答 解：（1）如图，过O作OF⊥AB于F，连接OA，

则∠OFA=∠OFE=90°，
∵DE=6cm，CE=2cm，
∴CD=8cm，
∴OA=$\frac{1}{2}$CD=4cm，OE=2cm，
∵在Rt△OFE中，∠OFE=90°，OE=2cm，∠AED=45°，
∴OF=OE×sin45°=$\sqrt{2}$cm，
在Rt△OFA中，∠OFA=90°，OF=$\sqrt{2}$cm，OA=4cm，
由勾股定理得：AF=$\sqrt{O{A}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{14}$（cm），
∵OF⊥AB，OF过O，
∴AB=2AF=2$\sqrt{14}$cm；

（2）由相交弦定理得：DE×CE=AE×BE，
∵DE=6cm，CE=2cm，EB=3cm，
∴AE=4cm，
∴AB=AE+BE=7cm．

点评 此题主要考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，相交弦定理的应用，能正确运用定理进行推理和计算是解此题的关键．